Родился Анатолий Сергеевич в 1947 году в Орловской области в семье железнодорожников. Его отец Сергей Ефимович прошел всю войну с 22 июня 1941 года, участвовал в битве под Москвой, День Победы встретил в Будапеште. До пятого класса Анатолий жил и учился в Орле, но потом отца назначили начальником железнодорожной станции «Верховье», куда семья и переехала. В школе мальчик был разносторонним и активным — занимался легкой атлетикой, посещал различные кружки и даже играл в духовом оркестре. В свободное время с друзьями на улице гоняли в футбол, играли в городки, разводили голубей.

Стоит отметить, что в 1962 году — двумя годами ранее поступления Борзенкова — Серпуховское военное авиационно-техническое училище спецслужб ВВС было преобразовано в Серпуховское высшее военное командно-инженерное училище, которое начало подготовку офицеров с высшим образованием для РВСН. Анатолий Сергеевич —первый выпускник Серпуховского высшего военного командно-инженерного училища с высшим образованием, который стал генерал-лейтенантом и командующим Ракетной армией.

Из моего класса я единственный решил стать офицером. В то время человек в военной форме вызывал глубокое уважение. На выбор профессии повлияли отец, а также классный руководитель — артиллерист, капитан запаса В. П. Максимов — и военком. Сначала я решил стать военным моряком-подводником, но на мандатной комиссии полковник в летной форме — преподаватель Серпуховского ВВКИУ — рассказами о космосе, ракетах (шел 1964 год) убедил меня поступать в Серпуховское высшее военное командно-инженерное училище Ракетных войск. Так, неожиданно для себя и родных, я стал курсантом главного вида Вооруженных Сил СССР — Ракетных войск стратегического назначения».
Анатолий Борзенков.

Годы учебы в Серпуховском военном училище Борзенков вспоминает тепло и с благодарностью, но подчеркивает, что был жесткий распорядок дня, строгие требования к учебе и физической подготовке. Учебный процесс был предельно насыщенный и плотный, спрашивали строго, три двойки во время сессии — отчисление. На физзарядке бег — минимум 3 км, по выходным — кросс в сосновом бору, с ноября по апрель — 10-километровые гонки на лыжах. Ко всем курсантам был единый подход — не ниже второго спортивного разряда по бегу и лыжам. С благодарностью он вспоминает начальника факультета полковника Цалковича, начальника курса майора Свиридова, полковников Зубова, Умушкина, Нестерова, преподавателей Бусыгина, Басова. Руководителем дипломного проекта Борзенкова на тему «Ракета-носитель с ядерной двигательной установкой» (до сих пор актуальна в космонавтике) был полковник Миносьянц, которого все называли фантастом. 

Из однокурсников Анатолий Сергеевич вспоминает старшину курса Карлаша, заместителя командира взвода Магомедова, Криволапова, Зиборова, Абрамухина, Белова, Герасимова,Шестакова, Борисова, Федоткина, Пономарева, Васильева. Прошло уже более 50 лет со дня принятия Военной присяги и поступления в училище, а они с курсом ежегодно в июле собираются на встречи выпускников. 

Годы обучения прошли для Борзенкова быстро и насыщенно, и молодые инженеры-лейтенанты получили распределение в войска. Анатолий Сергеевич прошел службу в РВСН на всех должностях — от инженера  группы до командующего 31-й Оренбургской Ракетной армией, из них 20 лет в Забайкалье и на Дальнем Востоке.

Преподаватели военного училища привили нам чувство уважения и гордости за принадлежность к Вооруженным Силам, РВСН, воспитали в нас порядочность, требовательность к себе и подчиненным, высокую ответственность и нетерпимость к разгильдяйству. Нас учили любить и защищать свою Родину, и это не воспринималось как пафос или громкие слова. Низкий поклон и благодарность им от всех курсантов — их воспитанников. Все мы были здоровы, выносливы и готовы служить в любых климатических условиях. Не всем нынешним курсантам это под силу ввиду изменения отношения к службе и физической подготовке. Патриотизм с детства был и остается внутри нас. Сегодня, к сожалению, во многом ценности изменились».
Анатолий Борзенков.

Вся служба в РВСН, рассказывает Борзенков, — это постоянные жизненные уроки. Вспоминает сложные моменты службы на должности начальника штаба 4-й ракетной дивизии в городе Чита 46 (пос. Дровяная), самой большой дивизии в РВСН, в боевом составе которой было 5 полков УР100К «ОС» (50 ПУ) и 5 полков с грунтовыми подвижными СПУ РСД-10 «Пионер» (45 СПУ), в зоне вечной мерзлоты, резко континентального климата с морозами до –40 и зимой длительностью 6-7 месяцев, с бурными стихийными разливами рек. Особенностью дивизии было то, что БСП ракетных полков РСД-10 «Пионер» размещались на правом берегу реки Ингода, а ПУБСП-2 и все ПБСП были выбраны и привязаны в геодезическом отношении на левом. Командованием было принято решение строить собственными силами низководный мост через реку. Саперы забивали сваи, устанавливали настил в ледяной воде (не выше 5–8 °C). Мост строили, совершали марш. Приезжали ученые из Военно-инженерной академии имени Куйбышева перенимать уникальный опыт строительства низководных мостов в условиях вечной мерзлоты. Но в дивизии знали, что в ночь стихийного разлива реки этот мост рассыплется, как карточный домик, и уплывет вниз по течению. После спада воды из обломков прежнего строили новый мост, и так каждый год.

Наступил 1987-й — год подписания Договора о ликвидации ракет малой и средней дальности с дальностью до 5 тыс. км между СССР и США. В соответствии с Договором нами было проведено 36 учебно-боевых пусков ракет РСД-10 «Пионер». Обидно, что мы собственными руками уничтожили надежный и эффективный ракетный комплекс. Но это уже политика. Ракетчики-харбинцы свою задачу выполнили, как всегда, уверенно».
Анатолий Борзенков.

Периодически, с интервалом 5-7 лет, в Забайкалье происходили верховые пожары, когда выгорали тысячи гектаров вековой тайги. В дивизии был создан штаб по тушению пожаров, начальником которого назначили Борзенкова. Тушили верховой пожар встречным палом местные жители, военные оказывали им помощь. Была организована наземная и воздушная разведки. Гул стоял на 5 км вперед, летали обгоревшие птицы, метались дикие звери. Борзенков объективно докладывал обстановку, ему поступали приказы срочно потушить пожары, грозили исключить из партии, снять погоны, напоминали о долге офицера. В целом обстановкой владели, пожары тушили, но меры для тушения были крайне ограничены. Наконец прошли дожди, появилась зелень, пожары отступили.

Таких ситуаций преодоления трудностей, когда нужны были четкие действия, принятие ответственных решений, в годы службы Анатолия Сергеевича было много. Начиная с командира полка, на все должности он назначался после сложившихся трудностей у его предшественников с целью выправить положение. И ему удавалось добиваться отличных результатов. 

С 1993 по 2002 годы А. С. Борзенков командовал 31-й Оренбургской Ракетной армией. Продолжил качественное и количественное наращивание боевого состава, руководил дальнейшим развитием мобильной группировки,принятием в боевой состав армии ракетных дивизий, вооруженных боевыми ракетными комплексами «Тополь». В условиях ограничения финансового обеспечения Вооруженных Сил он принял компенсационные меры и не допустил снижения уровня боеготовности войск армии.

Анатолий Борзенков: «Вспоминаются «лихие» 90-е, когда круглосуточно приходилось принимать решения, как накормить около 40 тысяч военнослужащих армии, обеспечить войска горюче- смазочными материалами и при этом обеспечивать постоянную боевую готовность и высокое качество боевого дежурства. Эти непростые задачи решались ежедневно: от развертывания полевых хлебозаводов из НЗ до «выбивания» горюче-смазочных материалов через губернаторов шести регионов. Мы выстояли в эти трудные годы благодаря высокому моральному духу и патриотизму, прежде всего, офицеров армии, всего личного состава и членов семей военнослужащих. Честь им и благодарность!».

Генерал-лейтенант Борзенков решал задачи продления сроков эксплуатации и поддержания в боеготовом состоянии боевых ракетных комплексов с одиночными стартами и самоходных пусковых установок. Впервые в РВСН он организовал работу по модернизации стационарных командных пунктов ракетных полков, вооруженных самоходными пусковыми установками, силами войск, без дополнительного государственного финансирования. Особое внимание уделял подготовке офицерских кадров, воспитанию личного состава на лучших традициях поколений ракетчиков. В боевом составе 31-й Ракетной армии было 6 ракетных дивизий, 33 ракетных полка: 15 ОС (98 ПУ), 14 ПГРК (126 ПУ), 4 БЖРК (12 ПУ) и полк боевого управления, всего 236 ПУ, более 36 тысяч военнослужащих. По итогам 2001 года 31-й Ракетной армии вручен переходящий вымпел командующего Ракетными войсками стратегического назначения «Лучшему объединению РВСН».

После увольнения в запас в 2002 году Борзенков ведет активную ветеранскую работу.Является председателем Объединенного совета ветеранов 31-й РА Московской городской организации ветеранов РВСН (МГОВ РВСН), членом Клуба военачальников Российской Федерации. 

Сейчас военную династию Борзенковых  продолжает его сын, начальник курса факультета ядерного вооружения филиала Военной академии РВСН, майор Дмитрий Анатольевич Борзенков, который воплощает в жизнь идеи отца о профессиональной подготовке и воспитании будущих офицеров.

Свой рассказ об этом уникальном человеке, который безупречной службой достиг высшей ступени военной карьеры, знает о трудностях армейской жизни не понаслышке; умеет их преодолевать, принимая порой непопулярные, но единственно правильные, как показала жизнь, решения; хотелось бы завершить его словами: «В Конституции СССР было записано, что служба в Вооруженных Силах — почетная обязанность каждого гражданина СССР. Нужно вернуться к системе образования от детского сада и до вуза, как это было в советское время, с учетом реалий сегодняшнего дня, душу вкладывать в воспитание и обучение подрастающего поколения, а не оказывать услуги. Нынешней молодежи хотелось бы пожелать правильно определиться с выбором профессии, сделать это однажды и на всю жизнь независимо от ситуации, не терять жизненных ориентиров и быть патриотами нашей Великой Родины!».